ENS Lyon Automne 1ère année Introduction l'Analyse Numérique

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
ENS-Lyon - Automne 2009 1ère année - Introduction à l'Analyse Numérique Planche no 1 Une approche pour le problème de Cauchy : analyse et résolution numérique. Soit I un intervalle de R (I sera tour à tour compact, ou quelconque). L'espace Rd est muni d'une norme ?.?. Soit : f : ( I ? Rd ?? Rd (t, u) 7? f(t, u) ) , (1) une application continue. On suppose de plus que f est globalement lipschitzienne en u au sens suivant : pour tout compact K ? I, il existe ? ? R?+ tel que ? t ? K, ?(u, v) ? Rd ? Rd, ?f(t, u)? f(t, v)? ≤ ??u? v?. (2) Soit enﬁn u0 un vecteur de Rd. Nous allons considérer le problème de Cauchy associé à I, f et (t0, u0), i.e. : Trouver une fonction u(t) (dans un espace à préciser, e.g. C1(I,Rd)) telle que : { u(t0) = u0, t0 ? I (condition initiale) u?(t) = f(t, u(t)), ? t ? I (3) Le but de cette planche est d'étudier l'existence et l'unicité de solution à ce problème puis d'aborder un classe de méthodes de résolution numérique permettant le

problème de cauchy

méthode

unique solution

théorème de point ﬁxe

classe de méthodes de résolution numérique permettant le calcul e?ectif de la solu- tion

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ENS-Lyon - Automne 2009 1ère année - Introduction àl’Analyse Numérique , Planche n1 Une approche pour le problème de Cauchy : analyse et résolution numérique.

SoitIun intervalle deR(Isera tour àtour compact, ou quelconque). α L’espaceRest muni d’une normekδk. Soit : α α IR!R f(ζ(1) (Fζ G)7!f(Fζ G) une application continue. On suppose de plus quefestglobalement lipschitzienneenGau sens suivant : pour tout compactKI, il existe2Rtel que + α α ∀F2Kζ∀(Gζ v)2RRζkf(Fζ G)f(Fζ v)k kGvkδ(2) α Soit enﬁnG(un vecteur deR. Nous allons considérer leproblème de Cauchy associé àI, fet(F(ζ G(), i.e. : )α Trouver une fonctionG(F)(dans un espace àpréciser, e.g.C(IζR)) telle que : G(F() =G(ζ F(2I(condition initiale) (3) − G(F) =f(Fζ G(F)ζ∀F2I

Le but de cette planche est d’étudier l’existence et l’unicité de solution àce problème puis d’aborder un classe de méthodes de résolution numérique permettant le calcul eﬀectif de la solu-tion.

Exercice 1Où l’on parle du Théorème de point ﬁxe. 1. SoitXun espace métrique complet (non vide) etωune application deXdans lui-même. On suppose queωest contractante, i.e., en notant<la distance surX, 2 9,2Rλζ ,1Fδqδ∀(Iζ K)2<X ζ(ω(I)ζ ω(K), <(Iζ K)(4) + Montrer qu’il existe un unique pointz2Xtel queω(z) =zet obtenu comme limite de la suite induite par l’itérationIψ+)=ω(Iψ)(initiée par unI(2Xquelconque) avec ψ , ∀n1ζ <(Iψζ z)<(I(ζ I))δ(5) 1,

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