E ondrement spectre et propriétés diophantiennes des

F M
F
F
M
F
sdiophantiennescevari?t?vdescourbureotso02],riemanniensvPierrepJammesd'injectivit?R?sum?.oOnprop?tudieInlemencompqueortemenaleurtledesenpremi?resPeut-onvquestionsaleurscespropres:duapprolorn?aplacienlesagis-etsanttoth?sesuradmettanlesDeformesvdi?renretersiQuestionellesplusieurslorsesd'unoueplusieursondpreotemenotforms,adiabatiquews,d'un58J50,otsaitriemanniRiccienlaplacienpropri?t?ari?t?sur[CC90],unetvpasari?t?formescompacteecete.erLequenomtendebretdeph?nom?nepli?etitesouvlealeursvpropress'eondre.psuiveutlesalorsadmet-elseprcalcu-leleresenappfonctiond'injedefaitlaxcohomol[Ja04],ogietationbasique),detoectreof,Keywetdierenonsmalldonneriemanniandesophancrit?resMSC2000sp53C12ecductiontrdiam?treauxcourbureplaourproprel'anntulationd'unedesestclassesminor?e.d'?lvColbarezCourtoisettr?d'Eulernedulaplacienot.rEntiellesoutre,aonhd?courbureorn?e,niaittvununeinpremi?revduarianerstilsde?videncenatureorn?e,diophanptiennepropresdufaitotolumequimaniestalenli?yaudecomptendortemenc'est-?-diretr?sultatsasymptotiqueledestp?etitesonditionsvs'eondraleursunepropres.etitesUnesapp?endiceesseestprconsacr?versauxarpropri?t?sauarithm?tiquesrdes?otstriemanniens.jetMots-clefsv:[eondremeJanoirts,uneformesth?tiquedi?rentatlesidelles,arithmeticlaplaertiescien,riemannianpws.etitesordsvcollapsing,aleurstialprLaplacian,opres,eigenotsalues,riemanniens,oapprodiximationstinedioximations.p:ha58C40,n1.tiennes.troAbstraOnct.qu'?Wbeetstudydetheminor?e,bpremi?reehaaleurviorduofagissanthesurrstfonctionsevigencompactevuniform?-aluestofDanstheB.HooisdgeG.Laplacianonactingmononquedierenr?sultattials'?tendaitformsauunderagissanadisuabaticlescollapsingdi?renofetam?meriemannianvounewypspdeonsectionnellabclo-onsedouvmanifoldtrouvt,desiteari?t?settellsu.dWm?triqueseesholawvthatproprethelaplaciennvum0.bplus,ermettenofensmallqu'?ebigencevdealuesetitesisaleursrelatedesttoauthequebasicvcohomologyofdeEondremen?,?quivandtegivraeonspectrallacriteriaari?t?forvthe0,vqu'elleanishingCesofmotivthet?lvprobl?mearezanclass:and1.1.thequelEulercclassuneofquiteheleoouw.pWvaleurseopralso?deneestimeraqueldiophanvittinecinvaleursvopratendentrz?ripanrtortofvolumetheauoayonwctivit?wicCeshonisd?j?relatedl'obtodethetraasymptoticalaub([CC00],ehaLvior[of03],thevsmall[Ja05]eigenourvpr?senalues.synAndeappr?sulendixtsismaisdev1M
N M
N
M
3 2 2 2S =f(a;b)2 C ; jaj +jbj = 1g
2 i i 1 2T ( ; ) (a;b) = (e a;e b)1 2
32RnQ S
2 3R T t7! (t;t) S
g
g =g gH V
gH
2g = g " g " H V
2 3 3 2T (S ;g ) S =T = [0; ]" 2
"
X! = X2jXj
d! d!
2dd! ! kd!k = (!; dd!) = 0
i d! =L ! di ! = 0X X X
2kd!k 2! R(!) = " k!k2k!k
2kd!k
1 3
(S )
3b (S ) = 01
F
M
g M
(g ) g g g g" H V V
desexemplesdeenari?t?mppnetiter?vsousaleurlapropunre0dansaleurleari?t?cashaqueo?Seifertlacvot,ari?t?di?rens'eondres'eondresurinniuninf?rieure,espaceOnsinngdansuCommeliers(vesoirquandci-dessousempl),ot.etuneil?feracasendeoutreyleighappara?trel'espacedessurdi?rencesconstannotablesaaquandvvecarticleleconsid?recasadesm?triqueespacestlimites,lissesel,(vorbiteoirdoncremarquetend1.5).proLadistancerestrictionersauxbr?sotso?s'expliqueecteurpartielleleeet,farianapasidonctari?t?que.m?mealeursdansseulslequotiencasdoncdesari?t?br?s,etlavseuletendsituationalorsvraimenstaleur?lucid?etesttendcellesph?re,o?nlaHausdorbrehercestquelleunauxcercle.deLeefaitqonu,efamillelad?compvcellesari?t?Ons'eondreest?decoestul'actionrbure,bdorn?ecerclesimpersoseheaussisituationcertainesourconGromotraintendtesOnsurdi?renlesfeuilletagedesqueestnousded?tailleronsci?pluscoloinlisse.:Ilvs'ainvpar?reeqpartoutu,em?triquel'exemplevlelaplusdanssimploutre,evd'eondremenetitestconnsurEtun.espacedesingulier,unequienestul'eod'unnalorsdremenvt,dz?ro,'undeotersisom?trique,struc-fournitanunOnexemplealorspuneedutilacienteyvdealeurerspropre.eondreEtcetteconesttrairemenpuisquetersauxGromoexemplesadonn?sdansdanscomprendre[CC90],cetonsepots.eutunfairec'est-?-direenoriensortedimensionquesanslesunefeuillesetnedonnesoiensurtd?nitpas1.2compactesm?triques:ari?t?Exemplet1.2.formeOnsonconsivd?re.sur[CC00].lairrationnsph?rel'adh?rencetcfacilemenfeuilleeruned'exhibdeermetdepnqu'ilettaid?taila?tudi?sfenlevparbr?s?dmotivcparticuliertr?sen([CC90]),estpfeuilletagesladesdehoixv-HausdorcdeLevfeuilles.0.l'actionconsid?reisom?trique1-formedutielletorededeselongexd?nie,partlelem?triquehamplavarierassovautSafaisandi?renensonusestobtenulletseneondremenari?t?desestconsid?rerafonctiononvetteots,leauxdoncc'est-?-direun1,estsionorthogonaleenn'estmet.quiSiespaceonerssetenddonnevuno?irrationnelledipropresdeEntsasontiellefeuilles?rielesvestpm?triqueuseutexempleslulesistrati?e.assovcierLeuntotRasurdeo?d'?critsimpleg?n?ralparestleiplongemenqtvdelimiteusquedans,pltendcasersd?niquandpartendauerstcarrestreignanbr?setureenvfeuilletages,l'setenuneconsid?ranttrestel'actiont.induietetsurassuequ'lv.proprePlourpconstruireagissanl'eondremensurt,aondimensiond?colissempvosez?rolaonm?triquelecanoniqueetoirvenproprelanonsommeullevari?t?saune?vbr?s,v-s.evlcd'unehercompcetosan?tedansvmesureerticale,exetanlegg?n?raliseenautresteOnaudoncot,otetdu'unefeuilletagecomptablo-desan1,tepriorihorizonparam?tretalesurquevg?n?raledistancesursil'espaceseorthogonaluneaulaot.ourOnond?nitcommealorsl'exemplelaunefamillededepm?triquestendanplusensituationsosandesv?laicid'unet?resserts'in?tudi?esao?situations,onlap2g gH
2g =g " g " 1" H V
g
F
g
g ""
kR
X
H (M=F)

(M=F) =f!2
(M); i ! = i d! = 0gX X
(g )"
p (M;g)p;0
p (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p
(M;g) n F
M (g )"
g F
p
(g )"
p n pm = dimH (M=F) + dimH (M=F) b (M) ;p p
c(g;F) > 1 p 1 k mp
1 2 20<"< 1 c " (M;g )c"p;k "
m?trique,lacourbureltiplicit?.toutlasectionnelleesdeeutuestestl'eondrtelleestvestuniform?menriemannien,trthbaorn?enpardimensionrapp.ortor-?unesiaux,rocetteOnpropri?t?v?tanvtPfaussevpooseraur?prdelesriemannienfeuilletagesm?triqueriemanniensddpemadimensionplusleragrandet(m?meteend?psuppleosanfeuiltsipardeexemplequ'quebreleourfeuillfonctioneta,geestulled?niexiste,padmetarqueunevaction1.loycalemensiontclibreundelesqueasso([Ca84b])e).1.Lesvaleurssurotsementrieman-laniensd?formationfournissenm?triquetiabatiqueainasileunOngrandpnomorthogonalebrelad'exemplespasd'eondremenri?t?ts(cettesurtedesestespacesonalesinguliers([EKSH85])(nousotencohomologierappnie.elmonenronlespcertainspropresdanstlatesectioncette4).toutRappnoteraelonsdonaussisunepropreautreourpropri?t?sideucesm?trique,m?triques,c'est-?-direquenousenn'utiliseronsOnpaspropresicillesmaisenquitinmtervien1.3.tmdansvari?t?d'autresactecon,texteso(vfeuillesoiroth?separadiabexemple?[Gh83],quasi-br[Mo05],our[Ma]lorsetnombrlpesopr?f?rencesnulquivyl'eon-sonm?metbdonn?es)netlaquiqu'unemotivconstruite.efamillel'?tuci?deildesonstanteotseondremenriemannienseenpg?n?ral,:oursietonetseondonnelauncompcehamplongd'hendypneerplanspsurpuneotvparari?t?arianriemannienne,inillesestautotalemen.tsaitg?oqued?siquelesiestetcetteseulemenesttdimensionsiOnlaam?triquetrerestoquasibr?eppcalculerournomledeetitesotaleursorthogonal,pcel'eondremenotog?tanotenalorsderiemannien.cohomologie.Sousourcesosanhonypcompoth?ses,tnous,allonsi-br?emettrelaenaleur?vnipdencelesquels-formes,sonelletetlesqpditeoinunetsqu'ilcom-riemannien,motunsleetoutresurtoutdonclessuppdi?renceslesaaleursvnontr?umondesa-formes,RemarquelesLe?tan1.3s'ilenaauxuenTh?or?meceSoitpendedierunepartieriemannienner?sultatsomp[CC00].derertlsoneslienstensurtreetcompqueortemenyptementduatiquespci?ectre,uneg?om?triel'hde?l'eon-pdremenectAet:dynamiqueledueotequietitesn'?taienprtrqu'esquiss?snondansles[Ja04].lesSi-formesri?reourestdrunacn?e,hampestdecourburevtienneecteuritangenm?triquetdeautelleot,rareonIld?nitainsiladecohomologielabasique?Car-assoY.2.eet,existeEnct).dotledulottelcommeque?tanourtapplatoutco.hpomosanologietoutdeenl'espacefeuilles,des,formesabasiquesm?triquerdesuosannehoisictparam?tragefeuillesudesdecleleseondremen.ts1.4.deth?or?mebr?s.s'appliqueEnparticulierparticulier,br?snouscercles,tacquiheronsermetd'retrouv?cunldesadei3g X
[ =X
=L X
1[]2H (M=F)
M
e = d ^
d d ! = d! +^!
e
2[e] H (M=F)

(M=F) d
[e] F
[e] = 0
F
p (M;g ) "p;1 "
[e] = 0
(M;g ) "1;1 "
[] = 0 [e] = 0
1H (M) =f0g M
[] = 0 [e] = 0
Onpeutlaunued?duversirecohomologieduulleth?or?mevers1.3parunaleurliencohomologieenottredelesquepropri?t?setitesp?ectralesstructuredudonotclasseetg?n?ralit?deuxpasinnvm?trique,arian[RPtsuncohomologiques,?crirelesdeclassesvd'?plvpararezlesetond'Euler,nondonclassetnenoussectionallonslarappos?elerd?nielespd?nitionsdi?ren:LaOnclassesed?pdonnefaituneeutm?triquequetseulemenquasi-br?e?pOnourS'illeomot,0unsecvaleurhampnomde0vseulementecteurrburevien1.7.unitaireaussietesttangenerse.ttaudonneraot.otLanonformeondcaract?ristiquededuerraotdoncestcohomologieter-dansnasiqueiprobl?mequitouteetommesa?tudierformeertinendeourcourburetomobleysemenneappesterlimite.l'espacededepascohomologiesoitlaon.trerDans1b][surAL9si2],s'ilJ.-A.transv?lvdonarezestL?peutezCorollairealimite.mondetr?coquetendla?compalorsosan6teLbopradeslesquellesiqtendudansesideLottcetteminor?eformecode.courbured'eondremenestvferm?e,conetsiquetlan?cessairemenclassendelacohomologieaubasique:deparagraphecettedcomptosanerteullenlend?pduitendetitepasOnddansequelaunem?trique.deOnquestiappparellelaclassebd'?torduelvarpezlecettesaclassedansdeccohomologielaetdeonourlatenoteppaspn'estlacetiellebase,rdleurdoncsur.br?sclassedeetsestmenel?eeondre-d'Eul.duOnlimitesaitEllequeendcettelaclassemaisestlenqu'elleullensi:etpseulemenmont([RP01a],si0le)otl'espaceestbr?g?ostructured?sible,etoutdeexistemani?refeuilletage?quiversealenLatetqu'iltorsionestbasique.isom?triquepalorsc'est-?-dire:qu'il1.6.existeex