DYNAMIQUE DES SOLIDES
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
DYNAMIQUE DES SOLIDES. page 1/5 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MATÉRIELS FERMÉS. CAS DES SOLIDES. I : Le principe fondamental de la dynamique et ses conséquences. 1°) Les postulats de la mécanique newtonienne pour le point matériel. 1. Les forces d‘interaction sont invariantes par tout changement de référentiel. 2. Principe d'inertie (ou 1ère loi de Newton) : Il existe au moins un référentiel dit galiléen (ou inertiel), par rapport auquel un point matériel A isolé ou pseudo- isolé (tel que la résultante des actions exercées sur A est nulle) a un mouvement rectiligne uniforme. 3. Principe de relativité galiléenne : Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen. Le problème est donc de postuler qu'il existe au moins un référentiel galiléen : on admet que le référentiel de Copernic est galiléen. 4. Principe fondamental de la dynamique (ou 2ème loi de Newton) : un point matériel de masse m, mobile dans un référentiel galiléen Rg, de qté de mouve- ment p mv=G G est soumis à des actions de résultante F∑ G , t.q. : / g dp F dt = ∑ R G G . 5. Principe des actions réciproques ou principe de l'action et de la réac- tion (ou 3ème loi de Newton) : Si un point matériel A1 exerce sur un autre point matériel A2 une force , alors A2 exerce sur A1 la force opposée : 1 2F?
Voir
DYNAMIQUE DES SOLIDES. page 1/5 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MATÉRIELS FERMÉS. CAS DES SOLIDES. I : Le principe fondamental de la dynamique et ses conséquences. 1°) Les postulats de la mécanique newtonienne pour le point matériel. 1. Les forces d‘interaction sont invariantes par tout changement de référentiel. 2. Principe d'inertie (ou 1ère loi de Newton) : Il existe au moins un référentiel dit galiléen (ou inertiel), par rapport auquel un point matériel A isolé ou pseudo- isolé (tel que la résultante des actions exercées sur A est nulle) a un mouvement rectiligne uniforme. 3. Principe de relativité galiléenne : Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen. Le problème est donc de postuler qu'il existe au moins un référentiel galiléen : on admet que le référentiel de Copernic est galiléen. 4. Principe fondamental de la dynamique (ou 2ème loi de Newton) : un point matériel de masse m, mobile dans un référentiel galiléen Rg, de qté de mouve- ment p mv=G G est soumis à des actions de résultante F∑ G , t.q. : / g dp F dt = ∑ R G G . 5. Principe des actions réciproques ou principe de l'action et de la réac- tion (ou 3ème loi de Newton) : Si un point matériel A1 exerce sur un autre point matériel A2 une force , alors A2 exerce sur A1 la force opposée : 1 2F?
- principe fondamental
- actions intérieures
- théorème du moment cinétique
- écriture du théorème de l'énergie mécanique
- mouvement rectiligne
- forces conservatives
- référentiel galiléen
- système fermé
DYNAMIQUE DES SOLIDES.
page 1/5
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MATÉRIELS FERMÉS. CAS DES
SOLIDES.
I : Le principe fondamental de la dynamique et ses conséquences.
1°) Les postulats de la mécanique newtonienne pour le point matériel.
1. Les forces d‘interaction sont invariantes par tout changement de référentiel.
2. Principe d’inertie (ou 1
ère
loi de Newton)
: Il existe au moins un référentiel
dit galiléen (ou inertiel), par rapport auquel un point matériel A isolé ou pseudo-
isolé (tel que la résultante des actions exercées sur A est nulle) a un mouvement
rectiligne uniforme.
3. Principe de relativité galiléenne
: Tout référentiel en translation rectiligne
uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen. Le problème
est donc de postuler qu’il existe au moins un référentiel galiléen : on admet que le
référentiel de Copernic est galiléen.
4. Principe fondamental de la dynamique (ou 2
ème
loi de Newton)
: un point
matériel de masse
m
, mobile dans un référentiel galiléen
R
g
, de q
té
de mouve-
ment
p
mv
=
G
G
est soumis à des actions de résultante
F
∑
G
, t.q. :
/
g
dp
F
dt
=
∑
R
G
G
.
5. Principe des actions réciproques ou principe de l’action et de la réac-
tion (ou 3
ème
loi de Newton) :
Si un point matériel A
1
exerce sur un autre point
matériel A
2
une force
, alors A
2
exerce sur A
1
la force opposée :
1
2
F
→
G
2
1
1
2
F
F
→
=
−
G
G
→
, et ce quel que soit le mouvement relatif de A
2
par rapport à A
1
.
2°) Le principe fondamental pour un système matériel fermé quelconque.
Les postulats de la mécanique newtonienne pour le point matériel conduisent au principe fon-
damental de la dynamique (ou PFD) pour un système fermé.
On retient les 3 résultats suivants, applicables à un système fermé (S) de masse
M
, mobile dans
un référentiel
galiléen
R
, de quantité de mouvement totale
g
(
)
S
P
G
et soumis à des actions extérieu-
res de résultante
.
(
)
(
)
ext
S
ext
S
R
F
→
→
=
∑
G
G
1. Théorème du centre de masse (th. de la résultante cinétique) :
(S)
(
)
dP
dV
=
/
= M
/
dt
G
ext
S
R
dt
→
g
g
R
R
G
G
G
.
2. Théorème du moment cinétique :
En un point O
fixe
dans
R
g
, ou si
O
≡
G
,
le moment cinétique en O du système (S) est lié aux moments des actions exté-
rieures en O par la relation :
(
)
,
/
=
O
O
e
x
t
S
dL
dt
→
∑
g
R
M
G
G
.
3. Théorème des actions réciproques :
Si un système S
1
exerce sur un autre
système S
2
des actions mécaniques représentées par le torseur
{
}
1
2
F
→
G
, alors S
2
exerce sur S des actions dont le torseur associé est opposé au précédent :
1
{
}
{
}
2
1
1
2
F
F
→
→
=
−
G
G
. (quel que soit le mouvement relatif de S
2
par rapport à S
1
).
DYNAMIQUE DES SOLIDES.
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Conséquence importante du principe des actions réciproques :
Pour un système quelconque, déformable ou non,
le torseur des actions in-
térieures est nul
:
{
}
{ }
int
0
F
=
G
G
.
3°) Théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique.
Le théorème du moment cinétique barycentrique dans
R
* (ou TMC*)
s’applique en G à un système fermé quelconque,
sans avoir à tenir compte des
forces d'inertie
(alors que R* n’est pas forcément galiléen). On retient :
(
)
(
)
(
)
/
*
(
)
S
G
e
x
t
S
dL
F
dt
→
=
∑
R*
M
G
G
G
Attention : Bien que L
l
* ne dépende pas du point où on le calcule, le TMC* ne
peut être utilisé sous la forme donnée qu’au point G (pour annuler les moments des
forces d’inertie).
4°) Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe (
Δ
).
Pour un système (S) en rotation autour d’un axe fixe (
Δ
) dans un référentiel ga-
liléen (
R
g
), le T.M.C. donne en projection sur (
Δ
) :
(
)
(
)
,
/
=
ext
S
dL
dt
Δ
Δ
→
∑
g
R
M
.
Cas d’un solide en rotation autour d’un axe (
Δ
) fixe dans
R
g
.
Le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe (
Δ
) dans
le référentiel d’étude galiléen (
R
g
) s’écrit pour un solide en rotation autour de (
Δ
),
à la vitesse angulaire
Ω
et de moment d’inertie J
Δ
par rapport à l’axe (
Δ
) :
(
)
/
(
ext
S
d
J
F
dt
Δ
Δ
)
→
Ω
=
∑
g
R
M
G
.
II : Puissance et travail d'un système de forces.
1°) Puissance des forces intérieures.
¾
Théorème :
La puissance
P
int
(ou le travail W
int
) des forces intérieures à un système fermé
n’est liée qu’à la variation des distances relatives entre les points du système et est
donc
indépendante du référentiel
par rapport auquel on calcule
P
int
(ou W
int
).
On exprimera donc
P
int
dans le référentiel conduisant aux calculs les plus simples !
¾
Cas particulier du solide (indéformable) :
Le travail des actions intérieures d’un solide est nul.
2°) Théorème de la puissance cinétique et de l’énergie cinétique.
Pour un système fermé quelconque S (déformable ou non), en mouvement par
rapport à un référentiel
R
0
galiléen ou pas, la dérivée par rapport au temps de
l’énergie cinétique est égale à la somme de la puissance développée par les ac-
tions extérieures et par les actions intérieures :
int
ext
=
+
c
dE
dt
P
P
.
DYNAMIQUE DES SOLIDES.
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On rappelle que la puissance d'une force F
l
, appliquée en un point A, animé dans le référentiel
d'étude
R
de la vitesse V
l
(A) s'écrit:
= . ( )
/
F
v
A
P
R
G
G
.
En particulier,
les forces de Coriolis et magnétique
, perpendiculaires au
mouvement relatif
sont de puissance nulle
.
En intégrant entre deux instants la relation précédente, on obtient le
"
théorème de l'énergie cinétique"
:
La variation d'énergie cinétique d'un système fermé entre deux instants est
égale au
travail de toutes les forces
,
intérieures, extérieures
ou encore de
liaisons
entre ces deux instants.
Cas d'un solide.
On a déjà montré que la puissance d’un champ de forces donné exercé sur un solide (S) s’écrit :
(
)
= . ( ,
) +
. (
)
/
/
O
R
v
O
S
S
Ω
P
M
R
R
JJJJJJJJJG
G
G
G
.
Pour un solide, seule intervient la puissance des actions extérieures :
P
ext
.
En prenant l’expression de
P
ext
en G, on obtient pour un solide S :
c
(
)
dE ( )
/
=
.
(
,
)
+
.
(
/
/
dt
ext
extG
S
R
v
G
S
S
Ω
g
)
g
g
R
M
R
R
JG
G
G
G
.
3°) Puissance des actions de contact entre deux solides.
La puissance totale des actions intérieures d’un contact supposé ponctuel en-
tre deux solides S
1
et S
2
vaut :
)
2/1
1
2
(
/
contact
gl
R
v
S
S
=
⋅
P
G
G
. Cette relation montre que
P
contact
ne dépend pas du référentiel
R
choisi.
D’après les lois du frottement cette puissance est
toujours négative ou nulle
, montrant que :
La puissance des actions de contact est
toujours résistante
.
Elle est
nulle
dans 2 cas simples :
1.
cas d’un
contact avec frottement sans glissement
,
2.
cas d’un
contact sans frottement (donc avec glissement)
.
¾
Cas où un des solides est fixe (ou étude dans le référentiel lié à S
2
par exemple).
Dans ce cas, la vitesse de tous les points de (S
2
) est nulle et donc la puissance des actions de (S
1
)
sur (S
2
) est nulle aussi.
La puissance totale des actions de contact se réduit alors à
2
1
contact
→
P
, puissance
résistante et on a
2
1
0
contact
→
=
P
si le contact de S
1
/ S
2
est
soit sans frottement
,
soit avec frottement sans glissement
.
DYNAMIQUE DES SOLIDES.
page 4/5
III : Énergie potentielle; énergie mécanique.
1°) Forces conservatives.
Un champ de forces F
l
est dit
conservatif
si et seulement si F
l
dérive d'une
énergie potentielle; c'est à dire s'il existe E
p
scalaire, telle que :
= - grad
p
F
E
JJJJG
G
.
1°) Énergie mécanique. Système conservatif.
¾
On définit
c
p
i
n
t
p
= E + E
+ E
M
ext
E
l'
énergie mécanique
d'un système fermé
Σ
.
(
E
p
)
int
= énergie potentielle due aux forces conservatives intérieures à
Σ
.
(
E
p
)
ext
= énergie potentielle due aux forces conservatives extérieures à
Σ
.
Notons
P
′
int
et
P
′
ext
les puissances des forces intérieures et extérieures
non conservatives.
Le théorème de la puissance cinétique peut être formulé sous la forme suivan-
te, constituant le "
théorème de l'énergie mécanique"
ou "
intégrale première
de l'énergie"
:
'
'
int
ext
=
+
M
dE
dt
P
P
.
¾
Les systèmes conservatifs.
Un système est dit conservatif si et seulement si son énergie mécanique est
une
constante du mouvement
(E
M
= Cste
au cours du temps
).
Un système est conservatif quand :
- il est
isolé
ou
pseudo-isolé
,
- ou il est soumis à des forces
toutes conservatives
,
- ou les forces non conservatives sont de
puissance nulle.
3°) Étude des systèmes à un degré de liberté.
On suppose que le système est entièrement décrit par
un
paramètre, noté q.
On suppose que l'énergie mécanique s'écrit sous la forme:
c
p
= E (q) + E ( )
M
E
q
, avec
dq
q
dt
=
.
L’écriture du théorème de l'énergie mécanique conduit à une équation diffé-
rentielle du mouvement du premier ordre, en général non linéaire, appelée
inté-
grale première du mouvement
.
Bien souvent, cette équation est plus simple à résoudre en la dérivant
par rapport au temps.
¾
Cas d'un système conservatif.
E
c
étant
toujours positive ou nulle
, les mouvements possibles sont tels que:
E
q
p
(
)
E
M
≤
.
Une discussion graphique est alors possible en traçant E
p
(q).
Les
positions d'équilibre
correspondent à un
extremum
de la fonction
énergie potentielle:
= 0
p
dE
dq
et les positions d'
équilibre stables
correspondent
à un
minimum de la fonction E
p
:
0
2
2
q
> 0
p
d
E
dq
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
.
DYNAMIQUE DES SOLIDES.
page 5/5
IV : Comment résoudre efficacement un problème de mécanique ?
Pour résoudre un problème de mécanique, on doit s’astreindre à répondre succinctement à cer-
taines questions, même si le texte n’invite pas à y répondre explicitement.
Ces questions sont les suivantes :
1.
Quel est le système étudié ? Ou quels sont les sous systèmes du système à étudier ?
2.
Quel est le référentiel d’étude ? Est-il galiléen ou non ?
3.
Analyse dynamique : Quel est le bilan des actions (forces et moments) ?
Identifier les
actions intérieures, extérieures
,
les actions connues (poids, tension d’un ressort, couple de tor-
sion, …) et inconnues (tension d’un fil, réaction d’un support, …), les forces conservatives et les
forces non conservatives.
4.
Analyse cinématique : Quel est le nombre de degrés de liberté ?
(tenir compte du ou
des systèmes et des liaisons entre eux). Choisir le meilleur paramétrage du système : choix de la
base de projection, des angles, …
5.
Le système étudié est-il conservatif ?
6.
Recherche des équations du mouvement :
tenter d’exploiter d’abord le caractère vectoriel
des théorèmes généraux : th. de la résultante cinétique (TRC) et th. du moment cinétique ba-
rycentrique (TMC*) ou le théorème du moment cinétique par rapport à un axe : TMC
Δ
.
7.
Quelles sont les expressions des éléments cinétiques en fonction du paramétrage ?
Cette question, très technique et calculatoire jour un rôle capital en mécanique. Il faut :
-
Décomposer le système en éléments simples et utiliser les propriétés d’extensivité.
-
Exploiter les propriétés du système (champ des vitesses d’un solide, contact sans glisse-
ment, …).
-
Appliquer les théorèmes de Koenig pour exprimer L
l
(O)
et E
C
.
-
Identifier les systèmes de masse nulle pour lesquels on pourra écrire :
{
}
{
}
0
(
ext
ext
S masse nulle
S masse nulle
F
e
t
O
)
0
=
=
∑
∑
M
G
G
G
G
8.
Comment résoudre les équations différentielles ?
C’est encore un problème technique. Les équations du mouvement le plus souvent rencontrées
sont du type (s désigne la réponse du système à l’excitation e(t)) :
-
oscillateur harmonique
:
2
0
(
)
s
s
e
ω
+
=
t
-
oscillateur amorti par frottement visqueux
:
2
0
0
(
)
s
s
s
e
Q
t
ω
ω
+
+
=
-
relaxation linéaire du premier ordre
:
1
s
s
τ
a
+
=
9.
Interprétation des résultats obtenus.
Cette dernière phase est capitale ! Elle permet de vérifier les calculs et donc de revenir sur des
erreurs de signe décisives.
