cours valeursabsolues doc
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
2-cours-valeursabsolues.doc VALEURS ABSOLUES I) DEFINITION 1ère approche : une machine à rendre positif On appelle valeur absolue de x notée | x | le nombre x privé de son signe. La valeur absolue permet donc de rendre positif un nombre : • si x > 0 alors | x | = • si x < 0 alors | x | = Ex: | 3 | = | ?2 | = | 3 ? 2 | = | x ? 1 | = ??? ?? si x > 1 si x < 1 2ème approche : une distance entre 2 nombres On cherche à calculer la distance entre deux nombres, c'est à dire la distance qu'il y aurait sur une droite graduée entre les points ayant pour abscisses ces deux nombres. Ex : la distance entre 3 et 2 est : la distance entre 2 et 3 est : la distance entre ?1 et 2 est : Une distance étant toujours positive, la distance entre deux nombres est donc la différence du plus grand par le plus petit. Ainsi la distance entre x et 1 est : ?? ?? ? si x > 1 si x < 1 On voit donc que la distance entre x et 1 est toujours égale à | x ? 1 | Plus généralement, x et y étant deux réels quelconques, | x ? y | est la distance entre x et y Synthèse Une valeur absolue peut être interprétée comme : Pour la calculer : • une machine à rendre positif • si le nombre est positif,
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2-cours-valeursabsolues.doc VALEURS ABSOLUES I) DEFINITION 1ère approche : une machine à rendre positif On appelle valeur absolue de x notée | x | le nombre x privé de son signe. La valeur absolue permet donc de rendre positif un nombre : • si x > 0 alors | x | = • si x < 0 alors | x | = Ex: | 3 | = | ?2 | = | 3 ? 2 | = | x ? 1 | = ??? ?? si x > 1 si x < 1 2ème approche : une distance entre 2 nombres On cherche à calculer la distance entre deux nombres, c'est à dire la distance qu'il y aurait sur une droite graduée entre les points ayant pour abscisses ces deux nombres. Ex : la distance entre 3 et 2 est : la distance entre 2 et 3 est : la distance entre ?1 et 2 est : Une distance étant toujours positive, la distance entre deux nombres est donc la différence du plus grand par le plus petit. Ainsi la distance entre x et 1 est : ?? ?? ? si x > 1 si x < 1 On voit donc que la distance entre x et 1 est toujours égale à | x ? 1 | Plus généralement, x et y étant deux réels quelconques, | x ? y | est la distance entre x et y Synthèse Une valeur absolue peut être interprétée comme : Pour la calculer : • une machine à rendre positif • si le nombre est positif,
- ?? ??
- propriétés des racines carrées
- exo-equations-valeursabsolues
- propriété
- ?1 ?
- ?? ?x
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VALEURS ABSOLUES I) DEFINITION 1èreapproche : "une machine à rendre positif" On appelle valeur absolue dxe notée |x | le nombrxe "privé de son signe". La valeur absolue permect doen "rendre positif" un nombre : six 0 alorsx | = six 0 alorsx | = Ex: | 3 | = | −2 | = | 3 − 2 | = x s i1 |x − 1 |=x 1 is 2èmeapproche : "une distance entre 2 nombres" On cherche à calculer la distance entre deux nosm, bcr'eoidruntddiirset tl aà qus'ancea ruliy us ria te graduée entre les points ayant pour abscisses ceeusx dnombres. Ex : et 2 est : 3 distance entre la 1 2−1 0 la distance entre 2 et3 est : la distance entre −1 et 2 est :3 Une distance étant toujours positive, la distanncter ee deux nombres est donc la différence du plaunsd grpar le plus petit. Ainsi la distance entxreet 1 est:xx 1 1si is On voit donc que la distance enxtret 1 est toujours égalexà−| 1 | Plus généralement,xety deux réels quelconques, étantx |−y la distance ent | estxreety Synthèse Une valeur absolue peut être interprétée comme : ur Ploa calculer : une machine à rendre positifsi le nombre est positif, il ne change pas s'il est négatif, on le multiplie par −1 la distance entre 2 nombresplus grand − plus petit Remarques :pour toutx de: |x| =x| − 0 | doncx | peut être interprétée comme la distance exe etnrt 0. xet −x sont à la même distance de 0 doxcn| = | |x− | Soit A(x; 0) dans un repère orthonormal, on a donc : OA (=x A−x O)2+y(A−y O)2 =x2 de plus, O et A étant situés sur l’axe des abss cqisusie est une droite graduée, on a donc aussi : OAx=− | 0 | =x | Bilan : pour touxt de,x2=x| |
Utiliser la fonction abs() de la calculatrice p57: 77, 78 p59: 133, 13,5 136
II) OPERATIONS AVEC DES VALEURS ABSOLUES
1) Propriétés
xety des réels quelconques : étant Propriété Exemple
|x+y ||x | +y| | |x y| =x| |y| |
x |x | = y |y |
2) Démonstrations
| 2 + (−3) | 2 | + | −3 |
| 2 × (−3) | = | 2 | × | −3 |
2| 2 | (−3) =| −3 |
(y 0 !)
Démontrons quex| +y | |x | +y| | en utilisant l’inégalité triangulaire : Soit une droite graduée de repère (O ; I). Pour tous réelsx ety nlpca e ,o ic d Abs’a plentoixsset le point B d’abscissye. − On a :x| +y | =x| − (y− ) | = AB |x | = OA |y | = |y = OB− | Or d’après l’inégalité triangulaire, AB OA + OB donc |x +y ||x | +y| | Démontrons que |x y| =x| | |y | en utilisant les propriétés des racines car:rées Pour tous réelsx ety, 2 2 |x y| = (x y)2 =x2 y2 x y =x| |y| | =
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Calculer : | | 2 7| − 5 | − | − | 2 3 | + |4 | − | 2 − | (2 −)2− 1 | − | 2 | − |x+ 1 | ×x 1 | +| |x2− 1 | |x− 1 |
III) EQUATIONS ET INEQUATIONS AVEC DES VALEURS ABSOLUES
1) Propriétés
αétant un réel strictemenpto sitif: |x| = 0 x = 0 |x| =α x = −αoux α = |x| <α α− <x <α |x| > α x < −αoux >α |x| =y| | x =y oux =y−
2) Utilisation dans les exercices
--
-
α α α
0
0 0
Ex : |x| = 3 x= −3 oxu = 3 |x 2 | = 5 x− 2 = −5xou− 2 = 5 x= −3 oxu = 7 − |x+ 5 | = 1 x+ 5 = −1xou+ 5 =1x= −6 oxu = −4 |x+ 2| 3−3 x+ 2 3−5 x 1 | 1 −x |21 −x −2 ou 1x− 23 xou −1 x | 3x + 2 | > 1 3x + 2 < −1 oux 3+ 2 > 1
3x < −3 oux −13 > x< −1 oxu > −1/3 Remarque :et siα 0 ? < |xcnod evitagén er = S rbalaueenv : u t êt peue nesolu| −3= |x: une valeur absolue ne peut être négative| 3 Sdo=nc − |x|−3 : une valeur absolue est toujours positive dSon=c
α α α
S = {−3 ; 3}
S = {−3 ; 7}
S = {−6 ; −4}
S = [−5 ; 1]
S = ]− ; −1] [3 ;+[
S =]−; −1[ ; ]−1/3+[
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p57: 80, 81, 82, 83, 84,, 859 p58: 100, 102, 10,4107
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3) Et si les propriétés ci-dessus ne permettent pas de résoudre l’équation ?
On peut alors distinguer plusieurs cas pour "ftaoirme ber" les valeurs absolues : Ex : Commentaires : (E) :x 1 | =| +x On ne peut utiliser ici la propriété :3− 1 2 cas : |x| =α x= −αoux =α Six −1 alorsx + 1 donc 0x| + 1 |x car 1= +α, c’est à direx3 − 1 n’est pas (E) x −1⇔ xx = −+ 11x3 − 1 forcément positif !! 2x= ⇔ x 1− 2 ⇔xx − 11= x= 1 Six −1 alorsx + 1 0 doncx| + 1 | =x− 1− (xE −1) ⇔ x−x1− 1− = x 13 − 4x= 0 ⇔ x −1 ⇔ x= 0 x −1 il n’y a pas de solution dans ce cas Bilan : S = { 1 } (I) : | 1x −| >x On ne peut utiliser ici la propriété : 2 cas : |x| >α x< −αoux >α Six 1 alors 1x− 0 donc | 1x| − =x − 1 carα, c’est à dirxe n’est pas forcément I) (x 1⇔ xx −1 > 1x !! positif ⇔0x> 1 x 1 il n’y a pas de solutions dans ce cas Six 1 alors 1x− 0 donc | 1x−| = 1x− x (xI)1⇔ x1−x1 > > 2x ⇔ 1x 1 x< 1/2 ⇔ x 1 x< 1/2 Bilan : S ]; 1/2[ = −
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