cours fonctions doc
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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
2-cours-fonctions-2.doc FONCTIONS 2 I) EXTREMA D'UNE FONCTION 1) Définition COURBE OBSERVATION DE LA COURBE TRADUCTION MATHEMATIQUE PROPRIETE DE LA FONCTION -1 x 2 f (x) 1 -2 Pour x ? [?2 ; 1], la plus grande valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = … Pour tout x tel que : ?2 x 1 On a : f (x) ..... f (?1) On dit que la fonction f admet un maximum de 2 en x = ?1 sur [?2 ; 1] 2 1 x f (x) Pour x ? [?1 ; 3], la plus petite valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = … Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet 2) Dans les exercices Soit f la fonction définie sur par x x2 ? 4 x + 2. [D'après Cf, il semblerait que f admette un minimum en x = 2.] Démonstration : Pour tout réel x phrase d'hypothèse Déterminons le signe de f (x) ? f (2) : f (x) ? f (2) = x2 ? 4 x + 2 ? (22 ? 4?2 + 2) = x 2 ? 4 x + 2 ? (?2) = x 2
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2-cours-fonctions-2.doc FONCTIONS 2 I) EXTREMA D'UNE FONCTION 1) Définition COURBE OBSERVATION DE LA COURBE TRADUCTION MATHEMATIQUE PROPRIETE DE LA FONCTION -1 x 2 f (x) 1 -2 Pour x ? [?2 ; 1], la plus grande valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = … Pour tout x tel que : ?2 x 1 On a : f (x) ..... f (?1) On dit que la fonction f admet un maximum de 2 en x = ?1 sur [?2 ; 1] 2 1 x f (x) Pour x ? [?1 ; 3], la plus petite valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = … Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet 2) Dans les exercices Soit f la fonction définie sur par x x2 ? 4 x + 2. [D'après Cf, il semblerait que f admette un minimum en x = 2.] Démonstration : Pour tout réel x phrase d'hypothèse Déterminons le signe de f (x) ? f (2) : f (x) ? f (2) = x2 ? 4 x + 2 ? (22 ? 4?2 + 2) = x 2 ? 4 x + 2 ? (?2) = x 2
- origine du repère
- phrase de conclusion
- repère quelconque
- moitié de df
- exercices du 3 p124
- x2 déterminons
- dite impaire
- courbe cf
2-cours-fonctions-2.doc FONCTIONS 2 I) EXTREMA DUNE FONCTION 1) Dfinition OBSERVATION DE LATRADUCTION PROPRIETEDE LA COURBE COURBE MATHEMATIQUEFONCTION 2Pourx∈[−2 ; 1],Pour toutxOn dit que la fonctiontel que :fadmet la plus grande valeur que prend−2xmaximum1 unde2enx= −1 xf(x) est …On a :sur[−2 ; 1] -2-11Cette valeur est obtenuef(x) .....f(−1) f(x)pourx= … f(x)Pourx∈Pour tout[−1 ; 3],xOn dit que la fonctiontel que :fadmet la plus petite valeur que prend f(x) est … 2Cette valeur est obtenue pourx= … x12) Dans les exercicesCf2 Soitfla fonction dfinie surparxx− 4x+ 2. [DaprsCf, ilsembleraitquefadmette un minimum enx= 2.] jDmonstration : OiPour tout relxdhypothse phrase Dterminons le signe def(x) −f(2) :2 2 f(x) −f(2) =x− 4x+ 2 − (2− 42 + 2)2 =x− 4x+ 2 − (−2)2 =x− 4x+ 4mettre (x− 2) en facteur 2 =(x− 2) or un carr est toujours positif ou nul doncf(x) −f(2)0 doncf(x)f(2) (avecf(2) = −2) doncfadmet un minimumde−2en2sur phrasede conclusion p95 : 1(bcdfg) nd extrema de fonctions du 2degr 2 fdfinie surparxx− 5x+ 1 gdfinie surparx(x+ 2) (1 −x) 2 hdfinie sur [−1 ; 2] parxx− 2x+ 3 p101 : 46, 49
2-cours-fonctions-2.doc
II) VARIATIONS DUNE FONCTION 1) Dfinition OBSERVATION DE LATRADUCTION PROPRIETEDE LA COURBE COURBE MATHEMATIQUEFONCTION 2Pourx∈[0 ; 3], on remarquePour tousx1etx2On dit que la fonctiontels que :fest f(x)que la courbe monte :0x1<x23 strictementcroissante sur[0 ; 3] f(x1)2 nombres et leurs images sontOn a : toujours dans le mme ordref(x1) .....f(x2) x1x2Pourx∈[0 ; 3], on remarquePour tousx1etx2On dit que la fonctiontels que :fest f(x1)que la courbe descend : 2 nombres et leurs images sont f(x2)toujours dans l’ordre …….. x1x22) Dans les exercices 2 Soitfla fonction dfinie surparxx− 4x+ 2. [DaprsCf, ilsembleraitquefsoit strictement dcroissante sur ]−; 2], puis quelle soit strictement croissante sur [2 ; +[ ] Dmonstration : a) Variations sur]−; 2]Pour tousx1,x2tels quex1<x22 phrasedhypothse Dterminons le signe def(x1) −f(x2) :2 2 f(x1) −f(x2) =x1− 4x1+ 2 − (x2− 4x2+ 2)2 2 =(x1−x2) − 4 (x1−x2) +2 − 2 =(x1−x2)(x1+x2) − 4 (x1−x2() mettrex1−x2) en facteur =(x1−x2)(x1+x2− 4) orx1<x2 doncx1−x2< 0 x1< 2 etx22 doncx1+x2donc< 4x1+x2dterminer le signe de chacun des facteurs− 4 < 0 doncf(x1) −f(x2) > 0 doncf(x1) >f(x2) doncfest strictement dcroissantesur]-; 2]phrase de conclusion b) Variations sur[2 ; +[Pour tousx1,x2tels que 2x1<x2 tudescompltes de fonctions + Dterminons le signe def(x1) −f(x2) :2-cmp-variations.html + f(x1) −f(x2) = (x1−x2)(x1+x2p95 : 4, 5, 6, 8− 4) orx1<x2 doncx1−x2< 0p98 : 16, 22, 23 p99 : 25, 27, 28, 29 x12 etx2> 2doncx1+x2donc> 4x1+x2− 4 > 0 doncf(x1) −f(x2) < 0p124 : 46 doncf(x1) <f(x2) doncfest strictement croissantesur[2 ; +[ c) Tableau de variations On a lhabitude detoujoursconclure ltude des variations dune fonction par un tableau de variations : x − 2+f− 2
2-cours-fonctions-2.doc III) PARITE DUNE FONCTION 1) Fonction paire a) Exemple 4 2 Soitf la fonction dfinie sur[– 3 ; 3]parxx+ 2 –x4 2 Pour toutxon remarque que[– 3 ; 3] def(–x) =(–x) +2 – (–x) =.............................. =f(x) Une telle fonction est ditepaire. En dduireSANS CALCULATRICEla moiti x0 0,5 1 1,5 232 –1,5 –1 –0,5 –3 – gauche du tableau de valeur ci-contre : f(x0,25 0,11,2 0,7 0,4) 1,4 En dduireSANS CALCULATRICEla moiti gauche deCf :
j
Cf
O i La reprsentation graphique dune fonction paire est symtrique par rapport .............................................. Remarque :Sif navait t dfinie que sur [−1 ; 3], elle naurait pas t paire. Pourquoi ? En effet, montrer quef est paire, cest montrer que pour toutxdeDf, on a :f(−x) =f(x). Or siDf; 3], on remarque que 2 appartient = [−1Dfmais pas −2 : On ne peut donc ni calculerf(− 2) ni criref(− 2) =f(2) ! On voit donc que pour pouvoir calculer aussi bienf(−x) quef(x), il faut que pour toutxde lensemble de dfinition, (−x) appartienne aussi cet ensemble . Un tel ensemble est dit centr en 0. b) Dfinition Lorsque pour toutxdeDf, −xappartient aussi Dfet :f(−x) =f(x), ondit quefest paire. Remarques :•Il suffit alors dtudier les variations defsur une moiti deDfpour pouvoir les dduire surDftout entier •Dans un repre orthogonal, la courbeCfest alors symtrique par rapport laxe des ordonnes
2) Fonction impaire a) Exemple 1 Soitf la fonction dfinie sur* parxx– x 1 Pour toutx de* onremarque quef(–x) = –x–.............................. =– =f(x) –x Une telle fonction est diteimpaire. En dduireSANS CALCULATRICEla moiti x –2 –4 ––0,3 0,31 –0,50,5 1 gauche du tableau de valeur ci-contre : f(x3 –1,50) – En dduireSANS CALCULATRICEla moiti gauche deCf :
j O i
Cf
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2 4 1,5 3,75
La reprsentation graphique dune fonction impaire est symtrique par rapport .......................................... b) Dfinition Lorsque pour toutxdeDf, −xappartient aussi Dfet :f(−x) = −f(xdit que), onfest impaire. Remarques :•Il suffit alors dtudier les variations defsur une moiti deDfpour pouvoir les dduire surDftout entier •Dans un repre quelconque, la courbeCfest alors symtrique par rapport lorigine du repre p123: 36, 37, 39 faire la maison les exercices du §3 p124 : 44
2-cours-fonctions-2.doc 3) Dans les exercices 1 Ex1 :Soitf la fonction dfinie sur− {−1 ; 1} parx2x− 1 1 1 Pour toutxde− {−1 ; 1}, −xappartient aussi − {−1 ; 1} etf(−x) =2=2=f(x) (−x) −1x− 1 doncfest paire. 3 Ex2 :Soitf la fonction dfinie surparxx−x3 3 Pour toutxde, −xappartient aussi etf(−x) = (−x(−) −x) = − (x−x) = −f(x) doncfest impaire. x+ 5 Ex3 :Soitf la fonction dfinie sur− {−2} parxx+ 2 − {−2} nest pas centr en 0 doncfnest ni paire, ni impaire. 2 Ex4 :Soitf la fonction dfinie sur [−3 ; 3] parxx+x f(−1)f(1) etf nest pas paire On remarque quefet(−1) = 0f(1) = 2donc f(−1)−f(1) etf nest pas impaire Attention : •Ce ne sont pasf(x) ouCf qui sont paires ou impaires mais la fonctionf•Ce ne sont pasfouf(x) qui prsentent une symtrie mais la courbeCf•Ce ne sont pasfouCfqui sont centres en 0 mais l’ensembleDf!! tude complte de : 4 2 x− 2x
