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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
2-cours-droites-systemes.doc EQUATIONS DE DROITES ? SYSTEMES LINEAIRES I) EQUATIONS DE DROITES 1) Les droites non verticales Soit d une droite non verticale quelconque. Cette droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle le coupe en un point que l'on appellera B et elle a également un vecteur directeur d'abscisse 1 que l'on appellera 1u. Appelons b l'ordonnée du point B et a celle de 1u. On a alors : B(0 ; b) et 1u(1 ; a) 1u 1i 1j B d O a b Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. M(x ; y) ? d ? 4BM(x ; y ? b) est colinéaire à 1u(1 ; a) ? x ? a ? (y ? b) ? 1 = 0 ? a x = y ? b ? y = a x + b Conclusion : • La relation y = a x + b permet donc de déterminer si un point appartient ou non à d. Cette relation caractérise donc la droite d et on l'appelle équation de d. • Toute droite non verticale a donc une équation de la forme y = a x + b et est la représentation graphique d'une fonction affine.

droite ∆ d'équation

vecteur directeur

droites ?

points ex

vecteur directeur d'abscisse

unique couple

?? ?a

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2coursdroitessystemes.doc EQUATIONS DE DROITES − SYSTEMES LINEAIRES I) EQUATIONS DE DROITES 1) Les droites non verticales Soitdune droite non verticale quelconque. Cette droite n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle le coupe en un point que l’on appellera B et elle a également un vecteur directeur d’abscisse 1 que l’on appellera1u. Appelonsbl’ordonnée du point B etacelle de1B(0 ;u. On a alors :b) et1u(1 ;a) d

u1aB

bj1Oi1

Soit M(x;y) un point quelconque du plan. ∈ ⇔4 M(x;y)d BM(x;y−b) est colinéaire à u1(1 ;a) ⇔x×a− (y−b) × 1 = 0 ⇔ax=y−b⇔y=ax+bConclusion : La relationy=ax+bpermet donc de déterminer si un point appartient ou non àd. Cette relation caractérise donc la droitedet on l’appelle équation ded. Toute droite non verticale a donc une équation de la formey=ax+bet est la représentation graphique d'une fonction affine. best l’ordonnée du point dedd’abscisse 0. On l’appelle donc ordonnée à l’origine de la droited. acaractérise la pente de la droited. On l’appelle coefficient directeur ded. Deux droites non verticales sont donc parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. yQ−yP Soient P et Q deux points distincts deden fonction de. Déterminonsaetb: xQ−xP yQ−yPaxQ+b−axP−b a(xQ−xP) dn’est pas verticale doncxQ≠xP= et := =axQ−xPxQ−xPxQ−xP Il est facile de lire graphiquement les valeurs de a et de b sur une figure. On peut donc très rapidement : soit lire graphiquement l’équation d’une droite dont on a le tracé, soit déduire le tracé d’une droite dont on a l’équation. Vidéoprojecteur : 2cmpequationdedroite.html

Salle informatiue : 2exoeuationdedroite.html

p279: 8, 9 (avec la méthode cidessus), 11, 14 p283: 38 p284: 42

2coursdroitessystemes.doc 2) Les droites verticales Soitdune droite verticale quelconque. Cette droite étant parallèle à l’axe des ordonnées, on ne peut définir ni le point B, ni le vecteur u1du paragraphe précédent ! Appelons donc C le point d’intersection dedavec l’axe des abscisse et posonsxc=c. d

1jCO1i

Soit M(x;y) un point quelconque du plan. M(x;y)∈d⇔C4M(x−c;yj) est colinéaire à1(0 ; 1) ⇔(x−c) × 1 −y× 0 = 0 ⇔x=cConclusion : L’équation dedest doncx=c. Toute droite non verticale a donc une équation de la formex=c. Une telle droite n'a ni coefficient directeur, ni ordonnée à l'origine et ne représente graphiquement aucune fonction. L’inconnueyn’apparaît même pas dans l’équation ded! En effet, pour savoir si un point appartient ou non àd, peu importe son ordonnée, seule compte son abscisse.

p279: 12 p283: 28, 33, 39, 40

2coursdroitessystemes.doc 3) Déterminer l'équation d'une droite ya) Connaissant deux points BEx :Déterminer l'équation de la droite (AB) ci contre : 1jAO1ière 1 méthode:xA≠xBdonc (AB) n'est pas verticale et a donc une équation de la formey=ax+b    A∈(AB)yA=axA+b0 = −2a+b(1)2 = 2b(1)+(2)a= 1/2    ⇔⇔⇔⇔B∈(AB)yB=axB+b2 = 2a+b(2)2 = 4a(2)−(1)b= 1 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 ème 2 méthode:xA≠xBdonc (AB) n'est pas verticale et a donc une équation de la formey=ax+byB−yA2 12 − 0 aveca= == = xB−xA2 − (−2)4 2 1 1 de plusA∈(AB) doncyA=xA+b doncb= 0 −(−2) = 1 2 2 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 ème 3 méthode:Soit M(x;y) un point quelconque M∈(AB)⇔ A4M(x+ 2 ;y) est colinéaire à A3B(4 ; 2) ⇔xA4MyA3B−yA4MxA3B= 0 ⇔ (x+ 2) × 2 −y× 4 = 0 ⇔ 2y=x+ 2 ⇔y= 1/2x+ 1 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 b) Connaissant un vecteur directeur et un point Ex :dpasse par A(−2 ; 0) et u1(2 ; 1) est l'un de ses vecteurs directeurs. Déterminer son équation. Soit M(x;y) un point quelconque M∈d⇔ A4M(x+ 2 ;y) est colinéaire à1u (2 ; 1)yu1 ⇔xA4My1u−yA4Mxu1= 0 ⇔ (x+ 2) × 1 −y× 2 = 0 ⇔ 2y=x+ 2j1A⇔y= 1/2x+ 1i O1da donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 c) Parallèle à une droite passant par un point 1 Ex :Déterminer l'équation deΔparallèle à la droite' laΔ d'équation :y=xpassant par C(1 ; 0)+ 1 2 ΔetΔ' étant parallèles, elles ont le même coefficient directeur, doncy1 l'équation deΔ' est de la formey=x+b2 j1i11 11OCde plusC∈Δ' doncyC=xC+b doncb= 0 −(1) = − 2 22 1 1 Δ' a donc pour équation réduite :y=x− 2 2 p279: 10, 13 p283: 30, 31 p284: 43, 46

2coursdroitessystemes.doc II) SYSTEMES DE 2 EQUATIONS LINEAIRES A 2 INCONNUES 1) Qu'estce qu'un système "2 × 2" ? Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la forme :  ax+by=c  a'x+b'y=c' Remarques : Siaetbsont tous les deux nuls, peuton encore parler d'un système de deux équations ? On convient donc que : aetbne doivent pas être nuls en même temps a'etb'ne doivent pas être nuls en même temps a c Sib≠0 alorsax+by=c⇔by= −ax+c⇔y= −x+ b b c Sib= 0alorsa≠0 etax+by=c⇔ax=c⇔x= a On voit donc qu'une équation linéaire à deux inconnues peut toujours se mettre soit sous la formey= mx+ p, soit sous la formex= k … tout comme une équation de droite !! Conséquence : De même que deux droites ont pour intersection :De même un système 2 × 2 aura pour solutions : soit un unique point d'intersectionsoit un unique couple solution (les droites sont sécantes) soit aucun point d'intersectionsoit aucun couple solution (les droites sont strictement parallèles) soit tout point de l'une est aussi un point de l'autresoit tout couple solution de l'une est aussi solution de l'autre (les droites sont confondues)(les deux équations sont équivalentes)

p284: 47, 48, 50

2coursdroitessystemes.doc 2) Déterminer le nombre de solutions d'un système 2 × 2 Peuton savoir à l'avance si un système linéaire 2 × 2 admet un unique couple solution ou non ? Dans le cas oub≠0 etb'≠0, on a : a c y= −x+   ax+by=cby= −ax+bc b    ⇔⇔a'x+b'y=c'b'y= −a'x+c' a'c' y= −x+  b' b' Comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, ces deux dernières équations sont de la même forme que des équations de droites nonverticales. Or on sait que deux droites nonverticales ont un unique point d'intersection si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents. Par analogie, on peut donc en déduire que :  ax+by=c aa'  a un unique couple solution⇔ −≠− a'x+b'y=b'c' b a a' ⇔≠b b' ⇔ab'≠a'b⇔ab'−a'b≠0 Remarques : a a' Pourquoi avoir transformé le critère≠ enab'−a'b≠0 ? b b' a a' Parce qu'on ne peut compareret quesibetb'sont non nuls : ce qui n'est pas toujours le cas ! b b' En revanche, on peut montrer que le critèreab'−a'b≠0 est toujours valable. ab On appelle le nombreab'−a'bdéterminantdu système et on le note : a'b' Bilan :

 ax+by=cab  Le systèmeadmet un unique couple solution si et seulement si≠0 a'x+b'y=c' a'b'

Distribuer tout de suite la feuille "Résoudre un système" et commenter le "a) Les 3 possibilités"

2coursdroitessystemes.doc 3) Résoudre un système a) Les trois possibilités :    x− 2y= 1L1x− 2y= 1L1x− 2yL= 11    (S1) (S2) (S3) 3x+ 6yL= 323x− 6yL= 323x− 6yL= − 42 Le déterminant de (S1) estLe déterminant de (S2) estLe déterminant de (S3) est 1 −2 1 −2 1 −2 = 6 + 6 = 12≠= −6 + 6 = 00 =−6 + 6 = 0 3 63 −63 −6 Il y a donc un seul couple solutionOr on remarque que L2= 3×L1 Oron remarque que (1 ; 0) est  x= 2y+ 1solution de LLes deux équations sont donc1et n'est pas solution   (S1)⇔12yL= 02←−3×L1+L2de Léquivalentes donc :2. Les deux équations sont donc incompatibles : x= 1(S2)⇔x− 2y= 1⇔x= 2y+ 1  ⇔y= 0 0 )}S =∅ S= {( 1 ;S = {( 2α+ 1 ;α)} avecα réel quelconque Remarques : ; )}S = {(N'oubliez ni les {}, ni les ( ) : Ne pas parler de droite ou de point d'intersection dans la rédactionp284: 51, 54, 55, 56, 59, 60, 61, 62 p285: 66, 67, 68Vérifier le résultat ! p286:81, 83 p287:87,89,90b) Pourquoi utiliser des équivalences ? x+y= 10L1   A la question :Résoudre : (S1)x+ 2yL= 52 x−yL= 93 Un élève a répondu :L2– L1donney= – 5 ord'après L3on ax=y+ 9 doncx5 + 9 = 4= – doncS = {(4 ; – 5)} Qu'en pensezvous ? c) Systèmes non linéaires se ramenant à un système linéaire via un changement de variable : 3 x+ =− 1 y 1  (S1) Pourtoutx>0 ety≠pose :0, onX =xY = et 1 y 2x− =5  y Résolvons (S2) :  X + 3 Y = −1 L11 3  (S2) est linéaire et a pour déterminant := – 1 – 6 = – 7≠ 0L2 X − Y = 522 −1   7X = 14L1←L1+3× L2X = 2    (S2) admet donc un couple solution unique et équivaut à :⇔L7Y = −72←2× L1− L2Y = −1    x= 2   x= 4 (>0)   donc (S1)⇔ 1⇔S = {(4 ; – 1)} donc ≠ =−1y( 0)= −1  y p284: 63, 64

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