Correction de DL n8 CCP PSI premiere epreuve corrige

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profil-mazor-2012

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Correction de DL n8 CCP 2006 -PSI premiere epreuve : corrige Partie I. 1.1. D'apres la formule du binome, n∑ k=0 ( n k ) = (1 + 1)n = 2n 1.2. On a donc ?n ? N, a?n = 1. 1.3. Les series ∑ (an) et ∑ (a?n) sont grossierement divergentes. 2.1. La formule du binome indique que ?n ? N, a?n = 1 2n (z + 1)n 2.2.1. On sait calculer les sommes geometriques. La raison z etant differente de 1, n∑ k=0 zk = 1? zn+1 1? z Pour |z| < 1 ce terme admet une limite. ∑ (an) converge et A(z) = ∞∑ n=0 zk = 1 1? z 2.2.2. On a ? ? z+1 2 ? ? ≤ 1+|z|2 < 1 et ∑ (a?n) est donc aussi une serie geometrique convergente de somme ∑ n≥0 a?n = 1 1? z+12 = 2 1? z = 2A(z) 2.3.1. La serie ∑ (an) est grossierement divergente (terme general qui n'est pas de limite nulle).

serie entiere sur l'intervalle ouvert de convergence

sn ?

etant de limite l?

?2n ?

serie entiere

rayon de convergence infini

serie geometrique convergente de somme

limite nulle

somme de la serie entiere

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Correction de DL n8CCP 2006 -PSI premie`ree´preuve:corrige´

Partie I. 1.1.D’apr`eslaformuledubinoˆme, n  X n n n = (1 + 1)= 2 k k=0 ∗ 1.2. Ona donc∀n∈N, a= 1. n P P ∗ 1.3.Lesse´ries(an() eta`issmerenos)orgtntge.estdeneriv n 2.1.Laformuledubinˆomeindiqueque 1 ∗n ∀n∈N, a= (z+ 1) n n 2 2.2.1.Onsaitcalculerlessommesge´om´etriques.Laraisonzreneeted,1´etantdiﬀ´ n X n+1 1−z k z= 1−z k=0 P Pour|z|<(1 ce terme admet une limite.an) converge et ∞ X 1 k A(z) =z= 1−z n=0 P 1+|z|  z+1∗ 2.2.2. Ona≤<(1 etameomesedntgeernvoceuqirte´moe´geunes´erioncaussi)sedt n 2 2 X 1 2 ∗ a= == 2A(z) n z+1 1−1−z 2 n≥0 P 2.3.1.Lase´rie(anteenrgveg´meer(tqlare´neptse’niu)estise`rgsotnideremasdelimitenulle). ∗n 2.3.2. Siz=−2 alorsa= (−1/.etne´moirgesee´’dnuergeconvique´etr2)steetelgemr´ne´lare n iθ ∗e+1iθ/2 2.3.3. (ae)m´eog´teuiesunstreianoteiruqdercos(= =θ/2)e. Commeθ∈]0, π[,|r| ∈]0,1[ n 2 P ∗ et (a) converge et n ∞ −iθ/2 X 1 2iecos(θ/2) ∗ a= =1 += =i k iθ 1−r1−esin(θ/2) sin(θ/2) n=0 Partie II. 1.1.1. Ona   k n n(n−1). . .(n−k+ 1)n =∼ k k!k! n→+∞ 1.1.2.Parcroissancecompar´ees,onadonc   1n lim =0 n 2k n→+∞

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