Chapitre LES SUITES RAPPELS RECURRENCE Terminale S I Rappels Deux façons de définir une suite a De façon explicite Exemple Donner un exemple de suite définie de façon explicite b Par récurrence Exemple Donner un exemple de suite définie par récurrence Sens de variation Définitions Soit un une suite a On dit que un est croissante lorsque b On dit que un est décroissante lorsque c On dit que un est constante lorsque d On dit qu'une suite est lorsqu'elle est soit croissante soit décroissante Méthodes pour déterminer le sens de variation a On compare directement un et un On étudie le Exemple un 4n pour tout n Exemple v et vn vn vn
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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Chapitre 3 LES SUITES : RAPPELS, RECURRENCE Terminale S I – Rappels 1) Deux façons de définir une suite a) De façon explicite Exemple : Donner un exemple de suite définie de façon explicite. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... b) Par récurrence Exemple : Donner un exemple de suite définie par récurrence. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... 2) Sens de variation Définitions : Soit (un) une suite a) On dit que (un) est croissante lorsque …………………………………………………………………………. b) On dit que (un) est décroissante lorsque ………………………………………………………………………. c) On dit que (un) est constante lorsque …………………………………………………………………………. d) On dit qu'une suite est ……………………………………… lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante. Méthodes pour déterminer le sens de variation a) On compare directement un et un + 1 • On étudie le ……………………………………………………………… Exemple 1 : un = 3 – 4n, pour tout n ? ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Exemple 2 : v 1 = 1 et vn = vn – 1 + vn – 1 2 , pour tout n ≥ 2 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... • Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer le rapport ……………………………. Exemple 3 : un = 1?n n pour n ≥ 2 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... b) Cas particulier : suite donnée sous forme explicite avec un = f (n) Si f est …………………….sur [0 ; + ∞[, alors (un) ………………………………… Si f est …………………….
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Chapitre 3 LES SUITES : RAPPELS, RECURRENCE Terminale S I – Rappels 1) Deux façons de définir une suite a) De façon explicite Exemple : Donner un exemple de suite définie de façon explicite. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... b) Par récurrence Exemple : Donner un exemple de suite définie par récurrence. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... 2) Sens de variation Définitions : Soit (un) une suite a) On dit que (un) est croissante lorsque …………………………………………………………………………. b) On dit que (un) est décroissante lorsque ………………………………………………………………………. c) On dit que (un) est constante lorsque …………………………………………………………………………. d) On dit qu'une suite est ……………………………………… lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante. Méthodes pour déterminer le sens de variation a) On compare directement un et un + 1 • On étudie le ……………………………………………………………… Exemple 1 : un = 3 – 4n, pour tout n ? ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Exemple 2 : v 1 = 1 et vn = vn – 1 + vn – 1 2 , pour tout n ≥ 2 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... • Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer le rapport ……………………………. Exemple 3 : un = 1?n n pour n ≥ 2 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... b) Cas particulier : suite donnée sous forme explicite avec un = f (n) Si f est …………………….sur [0 ; + ∞[, alors (un) ………………………………… Si f est …………………….
- porteur du gêne responsable de la maladie
- propriété
- …………………………… des points d'abscisses ……………………………
- axe des abscisses
- besoin de la droite ∆ d'équation …………………
- constante ssi ………………
- ………………… propriété
!"# $ $%! !"# & un exemple de suite définie de façon explicite.Donner ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ' %&& exemple de suite définie par récurrence.Donner un ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ( $ )# %!# Soit (un) une suite a) On dit que (un) est&#lorsque …………………………………………………………………………. b) On dit que (un) est$%&#lorsque ………………………………………………………………………. c) On dit que (un) est&#lorsque …………………………………………………………………………. d) On dit qu’une suite est ……………………………………… lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante. * &# $& + •On étudie le ……………………………………………………………… un= 3 – 4n, pour tout n∈ ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... v1= 1 et vn= vn – 1+ vn – 1 2, pour tout n≥2 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... • Lorsque tous les termes sont& #!on peut comparer le rapport .…………………………… u =pour n≥2 n −1 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ' & $#% # !# & )& ,- Siest …………………….sur [0 ; + ∞[, alors (un) ………………………………… Siest …………………….sur [0 ; + ∞[, alors (un) ………………………………… Le problème revient donc à étudier le sens de variation desur ………………………………………. un= 3 – 4n ……………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………... %# ./ $%! # !# &: u =+1 =(n) pour n∈ avec: → n …………………….. Les termes de la suite (un) sont les …………………………… des points d’abscisses …………………………….. de la courbe de
' $%! # $ %&& v0= 1 et vn + 1=+1 =(vn) avec: →……….. Pour placer tous les termes de la suite (vn) sur l’axe des abscisses, on a besoin de la droited’équation …………………
0 %/ %!# Une suite (un) est dite%/lorsqu’il existe un réel r tel que : pour tout n,+, 1111 Le réel r est appelé la ……………………….. de la suite Donner un exemple de suite arithmétique ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... • Une suite (un) est arithmétique ssi la différence un + 1– unentre deux termes consécutifs est ………………… • Si (arithmétique de raison r, alors pour tous entiers n et p tels que n > p,) est une suite , + 11112 Si p = 0,, 111111111 #%% Soit (un) une suite arithmétique de raison r •(un) est strictement croissante ssi …………… •(un) est strictement décroissante ssi …………. •(un) est constante ssi ……………….. #%% a) La#de termes consécutifs d’une %/est égale à : , + + + 1 + ( ).................................... ................................ ,...............................................× ..........
b) La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique)∈est : u0+ u1+ ……… + un= ………………………………. 3 .%#%/ %!# Une suite (un) est dite.%#%/lorsqu’il existe un réel q tel que : pour tout n,+, 1111 Le réel q est appelé la ……………………….. de la suite. Donner un exemple de suite géométrique ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... • On ne considère que des suites géométriques dont aucun terme n’est nul. Une suite (unssi le ……………………de deux termes consécutifs est ……………………) est géométrique • Si (raison q, alors pour tous entiers n et p tels que n > p,) est une suite géométrique de , ×1111 Si p = 0,, 1111111 #%% Soitun réel non nul. Considérons la suitedéfinie pour tout , par . • Si< 0, la suiten’est pas …………………………….. • Si 0 << 1, la suiteest ………………………………… • Si= 1, la suiteest ……………………………………. • Si> 1, la suiteest ……………………………………. Pour une suite géométriquequelconque, on a (si la suite est définie pour tout entier naturel). Par conséquent, • si……….,………………………………………………………………………………. ….………… • si……….,…………………….… .…………………………………………………………………… #%% a) La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison différente de ……….. est égale à : , + + + 1 + ,(...............................................)................ ................................ × − ........... .......... b) La somme des n premiers termes d’une suite géométrique)∈de raison q≠1 est : u0+ u1+ ………. + un= ……………………………… etsont deux réels distincts et non nuls,un entier naturel ( 2). a) Calculer la somme 1 . b) En déduire une forme factorisée de . ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ne se factorise que siest impair.
……………………………………..
# %&& %4 $ # %&& Notonsla proposition «1 2 1 2 ». Nous pouvons dire que : est vraie : ………………………………………………………………. est vraie : ………………………………………………………………. est vraie : ………………………………………………………………. Maisest<elle vraie quel que soit? Et si l’on pense que oui comment le prouver puisque nous ne pouvons pas faire une infinité de vérifications ? Une démonstration, par récurrence permet de conclure queest vraie pour tout 1. Le raisonnement par récurrence « est un instrument qui permet de passer du fini à l’infini » (Henri Poincaré), c’est<à<dire qu’avec seulement deux vérifications, il permet de prouver qu’une infinité de propositionssont vraies. On appelle « proposition » un énoncé qui est soit vrai, soit faux. ( & $ # %&& Pour$%# %&&qu’une propositionest vraie pour tout entier naturel, on procède en 2 étapes, puis on conclut : •! on vérifie queest vraie •! on suppose que pour un entier naturelquelconque, la propositionest vraie et sous cette , hypothèse, on démontre qu’alors ……………………………………………………. • on conclut que la proposition est vraie…………………… On montre que la proposition est vraie au ………………rang, puis qu’elle est …………………. Cela fonctionne comme une « maladie génétique » qui se propage : Si le 1erindividu est porteur du gêne responsable de la maladie et que la maladie est …………………., alors toute la descendance sera porteuse du même gêne. l’exemple précédent est vraie pour entier naturelDémontrer, par récurrence, que la propriété de 1. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Comme1 2 …………., on obtient1 2 ……………….
%&& !# Il est parfois nécessaire, dans des raisonnements par récurrence, d’utiliser une version plus forte de l’hérédité. Ainsi on procède comme suit : • on vérifie queest vraie • on suppose que pour un entier quelconque fixé ,est vraie# # 5/6 .(autrement dit, on suppose queest vraie ainsi que toutes celles de rang inférieur :,!, …,) et on montre que ………….. est vraie • on conclut : pour tout entier naturel ,est vraie. Soitla suite définie par : 0et!2#/-'& 1+'1 ( *&) &' (&) ',*'+. Démontrer que, pour tout , . ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………...
