Chapitre CONTINUITE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Chapitre 2 CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Terminale S I – Compléments sur la dérivation 1) Rappels Propriété : Soit f une fonction dérivable sur D et . La tangente à Cf au point ; est la droite T passant par A qui a pour coefficient directeur …………….. Une équation est : ………………………………………………………… Remarque : Localement, on peut approximer f par la fonction affine représentée par T. ……………………………….. pour voisin de a. Ou en écrivant , …………………………………. pour h voisin de …… On dit alors que ………………………………………. est …………. ………………………………... de pour h voisin de ……… En physique, on écrit souvent ∆ ∆ pour exprimer cette approximation. ∆ représente………………………. et ∆ …………………………… ∆ est parfois remplacer par ∆. Complément : ………………………. avec ………………………….. est appelé le développement limité à l'ordre 1 de f en a. 2) Règles de calculs Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur D et k est un réel. Alors , , et sont dérivables sur D et : ……………… ………………… …………………….. …………………. Si, de plus, v ne s'annule pas sur D, alors et sont dérivables sur D et : ………………… …………………………….. fonction dérivée Conditions (constante) 1 , n entier relatif non nul √ sin cos | |
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Chapitre 2 CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Terminale S I – Compléments sur la dérivation 1) Rappels Propriété : Soit f une fonction dérivable sur D et . La tangente à Cf au point ; est la droite T passant par A qui a pour coefficient directeur …………….. Une équation est : ………………………………………………………… Remarque : Localement, on peut approximer f par la fonction affine représentée par T. ……………………………….. pour voisin de a. Ou en écrivant , …………………………………. pour h voisin de …… On dit alors que ………………………………………. est …………. ………………………………... de pour h voisin de ……… En physique, on écrit souvent ∆ ∆ pour exprimer cette approximation. ∆ représente………………………. et ∆ …………………………… ∆ est parfois remplacer par ∆. Complément : ………………………. avec ………………………….. est appelé le développement limité à l'ordre 1 de f en a. 2) Règles de calculs Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur D et k est un réel. Alors , , et sont dérivables sur D et : ……………… ………………… …………………….. …………………. Si, de plus, v ne s'annule pas sur D, alors et sont dérivables sur D et : ………………… …………………………….. fonction dérivée Conditions (constante) 1 , n entier relatif non nul √ sin cos | |
- extremum local
- …………………
- rappels propriété
- théorèmes sur les opérations sur les limites
- réservoir
- parallélépipède rectangle de hauteur
- hypothèses du théorème
- ……………… …………………
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Français
CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS Chapitre 2 Terminale S INTERMEDIAIRES I – Compléments sur la dérivation 1) Rappels Propriété :Soitfune fonction dérivable sur D et . La tangente à Cfau point; est la droite T passant par A qui a pour coefficient directeur …………….. Une équation est : ………………………………………………………… Remarque :Localement, on peut approximerfpar la fonction affine représentée par T. ……………………………….. pourvoisin dea. Ou en écrivant , …………………………………. pourhvoisin de …… On dit alors que ………………………………………. est …………. ………………………………... de pourhvoisin de ……… En physique, on écrit souvent∆ ∆pour exprimer cette approximation. ∆représente………………………. et∆…………………………… ∆est parfois remplacer par∆. Complément : ……………………….avec ………………………….. est appelé le développement limité à l’ordre 1 defena. 2) Règles de calculs Propriété :uetvsont deux fonctions dérivables sur D etkest un réel. Alors , ,etsont dérivables sur D et : ……………… ………………… …………………….. …………………. Si, de plus,vne s’annule pas sur Det sont , alors dérivables sur D et : ………………… …………………………….. fonction dérivée Conditions (constante) 1 ,nentier relatif non nul √ sin cos ||
Théorème : gest une fonction dérivable sur D’,uest une fonction dérivable sur D et pour tout , %. Alors la fonctionfdéfinie par &'(est ………………….. sur………….. et pour tout , * … … … … … … … … … ..Démonstration : / Il s’agit de montrer qu’en tout pointade D, la fonctiontdéfinie par- a pour limite enale / nombre …………………………………………….. ère Remarque :S (lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites) :On retrouve la formule admise en 1 Si& , alors& ………………………………. Exemples :Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 3 / 45/45 5 5 a) b)cos & c) d)7 cos 3 3 / 4/4 6/ 4/
Théorème :uest une fonctionstrictement positiveet dérivable sur D. Alors la fonctionfdéfinie par 8est …………………………………..et pour toutde D, * … … … … … ..Démonstration : Théorème :uest une fonction dérivable sur D etnest unentier relatifnon nul. 1) Si9 : 1, la fonctionfdéfinie par <est …………………………………et pour toutde D, * … … … … … … … … 2) Si9 = 1et si la fonctionune ………………………….., alors la fonctiongdéfinie par& <est ………………………………….et pour toutde D, & * … … … … … … … …Exemples :Dans chacun des cas, déterminer la fonction dérivée def. a) > b) 33 ? / 46/ / …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. Définition :fest une fonction dérivable sur D. Sa fonction dérivée%s’appelle fonctiondérivée première(ou ………………..) def. 5 Lorsquef’est dérivable sur D, sa fonction dérivée est notée%%(ou parfois) ;%%est appelée ……………. ………………….(ou ……………………) def. Par itération, pour tout entiernaturel9 : 2, on définit la fonction …………………………(ou ……………..) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre9 1. Pour tout9 : 2, * … … …3) Dérivation et sens de variations Théorème :Soitfune fonction dérivable sur unintervalleI inclus dans son ensemble de définition. • Si% A 0sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où%s’annule, alorsfest ……….. …………………………………………………………….. • Si C 0sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où%s’annule, alorsfest ……….. …………………………………………………………….. • Siest nulle sur I, alorsfest …………………………………………………
Définition : festunefonctiondéfiniesuruninterv lleIetcun point de I. Dire queDest unmaximum local efencsignifie qu’il existe un intervalle ouvert J, contenantctelque,pourtoutde J, ………………………….. Defaçonanalogue,ondéfinitunmini umlocal(Gsur la figure). Unextremum localest…………… ……………………………………… Théorème :festunefonctiondérivablesurunintervalleouvertI,cestunpointdeI. 1) SiDestunextremumlocal,alors………………………. 2) Si%…………………..enchangean …………………..,alorsDestunextrem mlocal. Exercice : On considère un réservoir fermé en tôlayantlaformed’unparallélépipèderectangledehauteuret dont la base est un carré de côté, <0; (l’unité est le mètre). 1)Exprimerlasurfacedetôleduréser oir,notéeF, et le volume du réservoir, no en fonction deet. J 2)Onsupposequeleréservoiraunec pacitéde1I. 5 a) Exprimeren fonction de. K 5 b) En déduire que l’expression deFenfonctiondeestF 2 . / 3 /'/ 4/4( c) Montrer queFest dérivable sur<0; ∞et que, pour tout∞ <0; ,F . 3 / d) Etudier les variations deFsur<0; et en déduire la valeur de ourquelas rfacedetôlesoitminimale.
II – Notion de continuité, TVI Dans ce paragraphe,fdésigne une fonction définie sur un intervalle I deL. 1) Fonctions continues Définitions :• Dire quefestcontinue en un pointade I signifie quefadmet une limite enaet que cette limite est ………………. On a donclim/O…………. • Dire quefestcontinue sur l’intervalle Isignifie quefest ………………………………………………….. Conséquence :Il résulte de cette définition et des théorèmes sur les opérations sur les limites que lasomme, le produitet lacomposéede fonctions continues sont ………………….. Remarque :Il existe des fonctions non continues. • Voici quatre exemples. Indiquer ce qui dans la définition n’est pas vérifié.
……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. • Un autre exemple fondamental est la fonction ………………………..
Théorème :• Sifestdérivable ena, alorsfest ………………………………….. • Sifestdérivable sur I, alorsfest ……………………………………………….. Démonstration.
Conséquences : • Les fonctionspolynômessont…… ..………………………..Ellessontdonc……………………............... • Les fonctionsrationnellessont…… ………………………………………………………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. • Les fonctionssinusetcosinus…… …………………………………………… …………………………... • La fonctionracine carréeest…… …………………………………………… …………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. •Touteslesfonctionsconstruitespars mme,produit,quotient,compositiondeusuelles sont ……….fon tions surtoutintervalleinclusdansleur… ……………………………………… Remarque :Ilexistedesfonctionscon inuesmaisnondérivables.Parexemplel nction …………………. ……………………………………… ………………………………………… ………………………….. La fonctionvaleur absolueest………………………………………………… …………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. 2)Fonctionscontinuesetrésolution’équations Théorèmedesvaleurs:intermédiaire (admis) Soitfune fonctioncontinuesurnintervalle; <. Alors, pour tout réelycompris entre et, il existeau moinsun réelcentraetbtel que : ……………………. Remarque :Supposons que = . Lethéorèmepeuts’énoncerdeplusieu sfaçons équivalentes : • pour toutydans l’intervalle; <, l’équation ……………d’inconnue a…………………………………… ……………………………………. • tout réelyde l’intervalle; est l’image ………………………… ………………………………… ………………………………………
Si on notePl’ensemble des imagesde tous les nombresdeI,ceténoncéeutencore se traduite par : L’intervalle; <estinclusda s………………… Vocabulaire :L’ensemblePestap elé……………………………….. Lethéorèmesuivantesténoncépouru efonctionstrictementcroissante.Leanalogue pour unerésulta est fonction strictementdécroissante.Ilsu fitderemplacer; <par; <Théorème :Sifest une fonctionconti uestrictementcroissantesurl’intervalleI=; <, alors : • l’image de I parfest……………… …………………… • pour toutydans; <,l’équa ion , d’inconnue,a…………… …………………………
Démonstration
Cas particulier :Sifestcontinueetstr ctementcroissantesurI=; <et siC 0 (c’est-à-dire …… ……………………………………… ………),alorsl’équation………………… …………………………. ……………………………………… ………………………………………… J 5 Exemple :fest la fonction définie sur0; ∞par 1 2. Démontrer que l’équation 0a metuneuniquesolutionRdans0; 1<etdon erunencadrementdeR d’amplitude10. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. Extension du théorème : Lorsquefestunefonctioncontinueettrictementmonotone,lerésultatduthéorèmprécédents’étendàunintervalle Iquelconque. L’image d’un intervalle I parfestre unintervalleJetpourtoutréelydeJ,l’éq ation , d’inconnue, a………………… ………………………………….. Exemple :Lafonctioninverseestcont nue et strictement décroissante sur<0; ∞.L’image de<0; ∞ arlafonctionin erseest……………………………… Donc, pour tout réelyde…………… ………,l’équation……………………… …………………………… ……………………………………… …………………………………………… …………………………... Définitions :festunefonctioncontin eetstrictementmonotonesurunintervalleIquelconque. PosonsQ P.Jestunintervalle.A ors, • pour tout réeldans I,estdans…………….. • pour tout réelydansJ,ilexiste…… ………………………………….telque . Lorsquecesdeuxconditionssontréun es,onditquefestune……………………dIsurJ. On peut alors définir une fonctiongsuJdelafaçonsuivante : Pour toutyde J, on note&le réeltel que . Ainsi et&= ……… Onditquel’onadéfinisurJ,lafoncti n……………………..def. S / 5 Exemple :Déterminerunevaleurappr chéeà10 rèsdeséventuellessolutionsdl’équation 1. 3 J/ 4T ……………………………………… …………………………………………… …………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………
3) Fonctions continues et suites Propriété :fest une fonction définie sur un intervalle I ;est une suite dont tous les termes appartiennent à I.best un réel. im Sil etsifestcontinue en b, alors la suitedéfinie par …………………………… O4U …………………………………………………………………………………………………………………….. Exemple : Déterminer la limite de la suitedéfinie par>2. ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Propriété : Soitfune fonction définie sur un intervalle I etune suite vérifiant : 9 V P - Pour tout ,et4 . W P - Sietconverge vers sifestcontinueenl, alorslvérifie ………………………………………. Exemple : Xet4 1, pour tout entier naturel9. Soit la suitedéfinie par :2 2 R a) Siconverge, quelle est la limite possible ? 1 9 b) Montrer que la suitedéfinie par , est géométrique., pour tout entier naturel 9 c) En déduire l’expression deen fonction de , ainsi que la limite de la suite.
